Pochodzący z Mazur Dominik Kun przygodę z piłką nożną zaczynał w rodzinnych stronach: najpierw w juniorskim Koszałku Opałku Węgorzewo, a następnie w pierwszej drużynie Vęgorii z tego samego miasta. W połowie 2011 roku przeniósł się do drugoligowego Stomilu Olsztyn, z którym po sezonie wywalczył awans do I ligi. Po trzech rundach na tym poziomie Dominik Kun trafił do Pogoni Szczecin, a w marcu 2014 roku zadebiutował w Ekstraklasie.

Kolejnym etapem kariery filigranowego pomocnika była Wisła Płock, z którą ponownie mógł cieszyć się z awansu do Ekstraklasy. Po sezonie na najwyższym szczeblu znów zszedł niżej - do Pogoni Siedlce, znów Stomilu oraz Sandecji Nowy Sącz. W tym ostatnim klubie rozegrał 44 mecze.

W sierpniu 2020 roku Kun podpisał kontrakt z Widzewem. W trakcie dwóch sezonów w Fortuna 1 Lidze wystąpił w 66 spotkaniach - w tym drugim został także liderem klasyfikacji kanadyjskiej (dwie bramki i dziesięć asyst), a jego gol w ostatnim spotkaniu sezonu dał czerwono-biało-czerwonym upragniony awans do elity.

W PKO Bank Polski Ekstraklasie niezmiennie jest bardzo ważną postacią drużyny - zdobyta przez niego bramka w starciu z Miedzią Legnica dała łodzianom pewne utrzymanie. Przez trzy i pół sezonu Kun reprezentował barwy Widzewa już 114 razy.