Mateusz Żyro jest wychowankiem Legii Warszawa i przez dużą część swojej kariery występował w drużynach juniorskich oraz rezerwach stołecznego klubu, grał także w młodzieżowej Lidze Mistrzów. Później reprezentował barwy Wigier Suwałki czy Miedzi Legnica, gdzie zbierał doświadczenie w seniorskim futbolu.

Obrońca w 2019 roku został wypożyczony do Stali Mielec, z którą wywalczył awans do najwyższej klasy rozgrywkowej. Rok później przeniósł się do Stali na zasadzie transferu definitywnego i przez dwa lata był jej podstawowym zawodnikiem.

Przed startem sezonu 2022/23 Żyro podpisał z Widzewem umowę obowiązującą przez dwa lata z opcją jej przedłużenie. Od razu stał się bardzo ważnym członkiem drużyny oraz pewnym punktem obrony. Przez dotychczasowe dwa i pół roku rozegrał łącznie 79 meczów w PKO Bank Polski Ekstraklasie, w których zdobył trzy bramki. Wiele razy nosił też opaskę kapitańską.