Urodzony w 1998 roku piłkarz jest wychowankiem duńskiego HB Koge, ale ligowego debiutu w jego barwach się nie doczekał. Następnie trafił do zespołu Naestved BK, a dobra postawa zaowocowała przenosinami do występującego w Superlidze AC Horsens. W sezonie 2019/20 rozegrał w nim 29 meczów i strzelił dwa gole.

Kariera Therkildsena rozkręciła się na dobre w norweskiej drużynie FK Haugesund, do której został najpierw wypożyczony, a później wytransferowany na stałe. Przez ponad trzy lata był podstawowym zawodnikiem na szczeblu Eliteserien - zanotował 96 występów, zdobył dziewięć bramek i zaliczył aż siedemnaście asyst.

Przed startem sezonu 2024 Duńczyk zdecydował się spróbować sił w innym skandynawskim kraju i dołączył do Djurgardens IF. W trakcie roku zagrał w trzynastu ligowych starciach, a na boisku pojawiał się także w Pucharze Szwecji i Lidze Konferencji Europy. Łącznie zapisał w dorobku 23 mecze i strzelił jednego gola.

Latem 2025 roku Therkildsen został wypożyczony do Widzewa Łódź. Umowa obowiązuje do końca sezonu i zawiera opcję wykupu. W barwach RTS-u zadebiutował jako rezerwowy w wyjazdowym spotkaniu z Radomiakiem.