Tonio Teklić urodził się w Splicie, ale dzieciństwo spędził w położonej nieopodal miejscowości Solin. Tam też, w barwach lokalnego zespołu NK Solin, stawiał swoje pierwsze piłkarskie kroki.

We wrześniu 2017 roku, jako gracz Hajduka Split, zadebiutował w lidze chorwackiej. W Hajduku nowy nabytek Widzewa zanotował 37 spotkań w różnych rozgrywkach oraz zdobył dwie bramki. W tym czasie był wypożyczany do NK Hrvatskiego dragovoljaca i dwukrotnie do NK Varazdin.

Latem 2023 roku przeniósł się do Turcji i zaczął grać w klubie Trabzonspor. Po rundzie jesiennej Chorwat został wypożyczony do innej ekipy z ligi tureckiej - Fatih Karagumruk SK. Po zakończeniu wypożyczenia Teklić znowu zmienił drużynę - tym razem trafiając na rok do drugoligowego Erzurumsporu, gdzie wrócił do formy.

Po zakończeniu sezonu 2024/2025 rozwiązał kontrakt z Trabzonsporem i przeniósł się do Widzewa Łódź na zasadzie wolnego transferu. Z Klubem podpisał umowę ważną do 2029 roku. W barwach RTS-u oficjalnie zadebiutował jako rezerwowy w końcówce spotkania ligowego z Wisłą Płock, w 4. kolejce PKO Bank Polski Ekstraklasy.