Paweł Kwiatkowski trafił do Akademii Widzewa w 2021 roku z Juventus Academy Toruń. Obrońca występował w rozgrywkach Centralnej Ligi Juniorów U-17, Ligi Makroregionalnej U-19 i Centralnej Ligi Juniorów U-19, a na początku sezonu 2023/24 zadebiutował w zespole rezerw w Betcris IV lidze.

W listopadzie 2023 roku Kwiatkowski został zgłoszony do rozgrywek PKO Bank Polski Ekstraklasy, w której doczekał się debiutu w kończącym rundę jesienną meczu z Pogonią Szczecin. Wyszedł w nim w podstawowym składzie.

W rundzie jesiennej sezonu 2024/25 obrońca strzelił swojego debiutanckiego gola w spotkaniu Pucharu Polski z Elaną Toruń. Do siatki trafiał również w sparingach podczas zimowego zgrupowania w Turcji.