Antoni Klimek to wychowanek Startu Namysłów, ale swoją młodzieżową przygodę z futbolem spędził w dwóch większych miastach - Poznaniu, gdzie występował w drużynie AP Reissa, a także Wrocławiu - w nim grał w Akademii Śląska. Później skrzydłowy zaliczył sezon w Akademii Wisły Kraków, by finalnie trafić do Odry Opole. To właśnie w niej zadebiutował w seniorskim futbolu, na poziomie Fortuna 1 Ligi rozgrywając 36 meczów i zdobywając dwie bramki - jedną w Sercu Łodzi.

Piłkarz trafił do Widzewa przed sezonem 2023/24, podpisując z Klubem dwuletni kontrakt z opcją przedłużenia o rok. Jesienią stopniowo się rozkręcał, a kibicom najbardziej zapadł w pamięć dzięki golowi strzelonemu w starciu z Lechem Poznań. W rundzie rewanżowej dołożył do swojego dorobku dwa trafienia, jednak dalsza część jego pobytu przy al. Piłsudskiego nie była już tak udana.