Szymon Czyż urodził się w Gdyni w 2001 roku. Tam zaczął przygodę z futbolem od gry w młodzieżowych zespołach Arki. Następnie trafił do Akademii Lecha Poznań, gdzie wypatrzyli go włoscy skauci z Lazio.

Z rzymskim klubem Czyż podpisał kontrakt w 2018 roku, jednak nie doczekał się debiutu w Serie A i grał głównie w rezerwach. Nieoczekiwanie wystąpił za to w barwach Biancocelesti w meczu fazy grupowej Ligi Mistrzów w 2020 roku, w którym Lazio mierzyło się z belgijskim Club Brugge.

Później wrócił do Polski, gdzie najpierw grał w Warcie Poznań, a poźniej w Rakowie Częstochowa - z tym drugim klubem zdobył Mistrzostwo, Puchar i Superpuchar Polski. Po kontuzji ogrywał się na wypożyczeniu w Górniku Zabrze - w jego barwach w sezonie 2023/24 zaliczył 24 występy i strzelił cztery gole.

Zimą 2025 roku Czyż związał się półtorarocznym kontraktem z Widzewem Łódź. W barwach RTS-u zadebiutował jako rezerwowy w wyjazdowym spotkaniu z Radomiakiem.