Mikołaj Biegański jest wychowankiem Skry Częstochowa, gdzie zaczynał przygodę z piłką także na poziomie seniorskim. W lipcu 2021 roku ze swojego rodzinnego miasta przeniósł się do Krakowa i przez pewien czas był podstawowym bramkarzem. W sumie w trakcie pobytu w Wiśle rozegrał 19 meczów w PKO Bank Polski Ekstraklasie (4 czyste konta) oraz 30 spotkań w Fortuna 1 Lidze (11 czystych kont).

W lutym bieżącego roku został wypożyczony do amerykańskiego zespołu San Jose Earthquakes. Polski golkiper występował tam w drużynie rezerw w rozgrywkach MLS Next Pro. W zespole z Kalifornii zagrał w sumie w siedmiu meczach, dwukrotnie zachowując czyste konto. Pod koniec czerwca 2024 roku Biegański wrócił do Polski i podpisał kontrakt z Widzewem Łódź. Umowa obowiązywać będzie przez dwa lata z opcją przedłużenia.