Urodzony w 1994 roku Kozłowski przez całą swoją juniorską karierę reprezentował czerwono-biało-czerwone barwy. W sezonie 2013/14 został zgłoszony do rozgrywek Ekstraklasy i znalazł się w kadrze na spotkania z Piastem Gliwice oraz Zagłębiem Lubin, ale debiutu się nie doczekał. Na ten musiał poczekać kilka miesięcy. Już na poziomie I ligi zawodnik zaliczył siedemnaście występów oraz zdobył dwie bramki.

Na jeden sezon Kozłowski przeniósł się do Legionovii Legionowo, ale później znów wrócił do Klubu, który był wówczas beniaminkiem III ligi. Szybko stał się ważną postacią, ale nie zdołał pomóc w wywalczeniu awansu. Ten udało się uzyskać rok później, a piłkarz został przy al. Piłsudskiego na poziomie II ligi, chociaż rundę wiosenną stracił z powodu kontuzji i w lipcu 2019 roku opuścił Łódź, z której trafił do Pogoni Siedlce.

Marcin Kozłowski rozegrał w barwach pierwszego zespołu Widzewa 81 meczów, w których strzelił cztery gole. W grudniu piłkarz rozpoczął treningi z drużyną rezerw, a teraz podpisał kontrakt z Klubem. Umowa obowiązywać będzie do czerwca 2024 roku i zawiera opcję przedłużenia o kolejny sezon.

- Bardzo się cieszę, że mogę wrócić do Klubu, w którym zaczęła się moja przygoda z futbolem. Spędziłem w Widzewie wiele pięknych lat i liczę, że kolejne przede mną, chociaż teraz już w zupełnie innej roli. Dziękuję wszystkim, którzy dali mi szansę powrotu do gry w piłkę, a w szczególności wiceprezesowi Maciejowi Szymańskiemu. To dla mnie bardzo ważne i teraz będę chciał się odwdzięczyć - mówił Marcin Kozłowski.