Urodzony w 2009 roku obrońca pochodzi z Warszawy, gdzie występował w Talencie i Escoli Varsovia. Przez ostatnie trzy lata reprezentował jednak barwy Akademii Lecha Poznań. W pierwszym sezonie zajął drugie miejsce w turnieju finałowym Centralnej Ligi Juniorów U-15, w kolejnym zaczął grać w kategorii wiekowej U-17. W kampanii 2024/25 zanotował na tym poziomie osiemnaście spotkań.

Gadomski ma też na swoim koncie dwa mecze w reprezentacji Polski U-16 - w starciach z Koreą Południową i Arabią Saudyjską podczas turnieju w Hiszpanii w listopadzie 2024 roku.

- Bardzo cieszymy się, że pozyskaliśmy Franka do Widzewa. To projekt lewonożnego środkowego obrońcy i chcemy, żeby mimo młodego wieku już teraz rozwijał się w piłce seniorskiej w drugiej drużynie. Wierzę, że przy odpowiednim wsparciu i środowisku treningowym oraz zaangażowaniu i determinacji do pracy z jego strony jest on w stanie dużo osiągnąć. Do tego będziemy wspólnie dążyć - stwierdził koordynator skautingu Akademii Widzewa Jan Karp.

Franciszek Gadomski związał się z Klubem dwuletnią umową z opcją przedłużenia o rok.