Mateusz to syn Marcina Ludwikowskiego, wieloletniego bramkarza Widzewa Łódź, który reprezentował czerwono-biało-czerwone barwy przez ponad 10 lat. Podobnie jak ojciec, Ludwikowski jest wychowankiem Pogoni Nowe Skalmierzyce, gdzie został zauważony przez skautów Akademii Lecha Poznań. Golkiper zimą 2020 roku został wypożyczony na pół roku z Lecha do Akademii Widzewa. Po tym okresie stał się pełnoprawnym zawodnikiem zespołu z kategorii U17. Młody bramkarz był mocnym punktem drużyny juniorów młodszych, z którą wywalczył awans do Centralnej Ligi Juniorów.

Przed startem sezonu 2021/22  Ludwikowski rozpoczął treningi z pierwszą drużyną Widzewa Łódź i wyjechał z zespołem na obóz do Woli Chorzelowskiej. 17-latek zanotował występy w sparingach z Hutnikiem Kraków i Stalą Rzeszów. We wspomnianej kampanii Ludwikowski był podstawowym zawodnikiem rezerw Widzewa występujących na poziomie IV ligi.