19-letni zawodnik niemal od początku swojej piłkarskiej kariery był związany z klubem spod Jasnej Góry. Grę w piłkę nożną zaczynał w młodzieżowych drużynach klubów Grom Cykarzew i LKPS Borowno. Następnie w wieku niespełna 13 lat został piłkarzem Skry.

W zespole z Częstochowy najpierw występował w drużynach juniorów. Pod koniec sezonu 2018/2019 zadebiutował w pierwszej drużynie Skry w meczu II ligi z Pogonią Siedlce. W kolejnym sezonie zaliczył 14 występów na drugoligowych boiskach - większość w pierwszym składzie, w tym m.in. w meczu z Widzewem w Łodzi, który częstochowianie wygrali 2:1, a Radosław Gołębiowski zaliczył asystę przy jednej z bramek dla Skry.

W ostatnim sezonie ten środkowy pomocnik, który może również grać na lewej obronie lub skrzydle, był już podstawowym zawodnikiem w zespole Skry. Najpierw zaliczył 31 meczów w lidze i strzelił 2 gole, a potem wystąpił w zwycięskich dla jego zespołu barażach o I ligę z Chojniczanką i KKS-em Kalisz.

Radosław Gołębiowski podpisał z Widzewem Łódź umowę na dwa lata z opcją przedłużenia o kolejny rok.