Pochodzący z Mazur piłkarz przygodę z piłką nożną zaczynał w rodzinnych stronach: najpierw w juniorskich zespołach z Węgorzewa, a następnie w pierwszej drużynie Vęgorii z tego miasta. W połowie 2011 roku przeniósł się do drugoligowego wtedy Stomilu Olsztyn, z którym po sezonie wywalczył awans do I ligi.

Po półtora roku gry na tym poziomie Dominik Kun przeszedł do Pogoni Szczecin i w marcu 2014 roku zadebiutował w ekstraklasie. W swoim piątym występie na najwyższym szczeblu ligowym w Polsce wystąpił wtedy w meczu przeciwko Widzewowi, który Portowcy wygrali u siebie 1:0 po golu... Marcina Robaka, wtedy grającego właśnie w Pogoni.

W kolejnym sezonie (2014-2015) Kun był już podstawowym zawodnikiem szczecińskiej drużyny, zaliczając 24 mecze i strzelając w nich 1 gola. Mimo tego, na początku kolejnych rozgrywek lewoskrzydłowy odszedł z Pogoni do pierwszoligowej Wisły Płock, w której barwach najpierw wywalczył awans do ekstraklasy, a następnie w najwyższej lidze zanotował 19 meczów i strzelił 1 gola.

Jesienią 2017 roku wrócił na boiska I ligi jako zawodnik Pogoni Siedlce, a następnie Stomilu Olsztyn. Ostatnie półtora sezonu spędził również w pierwszoligowej Sandecji Nowy Sącz, gdzie w ostatnim sezonie strzelił 4 gole i miał 2 asysty w 31 meczach, z których 25 rozegrał w pełnym wymiarze czasowym. Podsumowując, ten 27-letni piłkarz ma na koncie rozegranych ogółem 55 meczów i strzelone 2 gole w ekstraklasie, a na boiskach I ligi zaliczył 127 występów, w których zdobył 15 bramek.

Dominik Kun przeszedł do Widzewa na zasadzie wolnego transferu. Z klubem z alei Piłsudskiego podpisał umowę na 2 lata. - Bardzo cieszę się, że udało mi się podpisać kontrakt. Mam nadzieję, że wywalczę miejsce w składzie Widzewa i będę z nim walczył o jak najwyższe cele. Na pewno nie będzie mi łatwo, bo jest tutaj bardzo dużo dobrych zawodników, ale zależy mi na tym, by wzmocnić zespół. W ostatnich latach Widzew grał w niższych klasach rozgrywkowych, ale kibice są tutaj dalej bardzo wymagający. Postaram się sprostać ich oczekiwaniom - zapowiedział nowy skrzydłowy czterokrotnego mistrza Polski.